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我们将探讨探险地图的拓扑性与其应用，不感兴趣的读者可以跳过前面的理论部分。

==区域连通性==

对实数域上的连续映射，我们定义其为𝑓满足对任意开球 𝐵(𝑓(𝑥),𝜀)都能找到开球 𝐵(𝑥,𝛿)使得 𝑓(𝐵(𝑥,𝛿))⊂𝐵(𝑓(𝑥),𝜀)。但对于以整点二元组为单位构成的探险地图，此定义条件显得过于强了。我们不妨以整点二元组为基础定义一下地图的离散连续映射。为此，我们先定义离散开球:

<div style="background-color: #ede7b1; border-style: solid; font-size:16px; font-weight:bold;">
<font style="font-weight:bold; font-size:24px;" color="black">邻点</font>

对格点P=(x,y)，定义集合 NB(P):={(x+1,y), (x-1,y), (x,y+1), (x,y-1)}为点P的邻点集。
</div>

不难发现此即整点集在曼哈顿度量上定义的开球的边界。显然这样的邻点定义是符合探险中玩家或怪物的移动直觉的。

我们回忆[[QQTPVE]]的地图障碍是以每两个邻点的交界线段为单位划分的。所以我们定义两个邻点A,B为连续邻点，如果其交界的线段是不阻挡的(L(A,B)=0)。


<div style="background-color: #ede7b1; border-style: solid; font-size:16px; font-weight:bold;">
<font style="font-weight:bold; font-size:24px;" color="black">路径</font>

序列P={P_0,...,P_n}={(x0,y0),...(xn,yn)}称为域D上的一条路径，如果对任意的 P_t (其中0≤t≤n-1)都有 P_{t+1} ∈ NB(P_t)。

我们称p_0是这条道路的起点，P_n是这条道路的终点。
</div>


<div style="background-color: #ede7b1; border-style: solid; font-size:16px; font-weight:bold;">
<font style="font-weight:bold; font-size:24px;" color="black">环路</font>

我们称序列P是一条D中的环路当且仅当 P_0=P_n。
</div>


对于路径P我们并不要求 {0,...,n}→P 是单射，即一条道路可以自相交。显然每一条环路一定是自相交的，因为起点和终点相交。


<div style="background-color: #ede7b1; border-style: solid; font-size:16px; font-weight:bold;">
<font style="font-weight:bold; font-size:24px;" color="black">连续路径</font>

路径P={P_0,...,P_n}称为域D上的一条连续路径，如果对任意的 P_t (其中0≤t≤n-1)都有 L(P_n, P_{t+1}) = 0。
</div>


<div style="background-color: #ede7b1; border-style: solid; font-size:16px; font-weight:bold;">
<font style="font-weight:bold; font-size:24px;" color="black">连通域</font>

我们称域D是连通的，当且仅当对任意 𝑥,𝑦∈D，都能找到一条D中从𝑥到𝑦的连续路径P，即P_0=𝑥，且P_n=𝑦。
</div>





==区域亏格==

<div style="background-color: #ede7b1; border-style: solid; font-size:16px; font-weight:bold;">
<font style="font-weight:bold; font-size:24px;" color="black">邻界</font>

在域D中，如果两条邻点交界线段L_1与L_2恰有一个交点(且在某格的顶点上)，则称这两个交界线段为邻界。
</div>

不难发现在某一格点集合S上，对S的任意线段边界L，其邻界构成一个交界线段集的等价类[L]。


<div style="background-color: #ede7b1; border-style: solid; font-size:16px; font-weight:bold;">
<font style="font-weight:bold; font-size:24px;" color="black">最大边界集</font>

对于在域D中的路径P，其最大边界集sup{∂P}为其最大的边界线段等价类。
</div>


<div style="background-color: #ede7b1; border-style: solid; font-size:16px; font-weight:bold;">
<font style="font-weight:bold; font-size:24px;" color="black">洞</font>

在域D中，如果存在在同一邻界等价类中的邻点交界线段集{L_i}，存在某个环路P，使得对任意集合中的线段L_i都恰好在P的最大边界集的内部中(L_i∈Int(sup{∂P}))，则称此交界线段集为一个洞。
</div>